Главная V Курс Надежность ИС Надежность ис Военмех лекция 5
Надежность ис Военмех лекция 5
13.01.2015 11:22

Надежность ис Военмех лекция 5. Толмачев, Смирнов и компания.
Модели отказов.

В большинстве случаев в силу сложности, значительных весогабаритных характеристик, недоступности и высокой стоимости объектов целесообразно рассматривать не сами объекты или явления, а формальное описание тех их особенностей, которые существенны для целей исследования. Такое формальное описание принято называть моделью [ 1-10].
Рассмотрение вместо объекта его модели основано на некотором упрощении. Модель почти всегда огрубляет (с помощью допущений) представления о реальном мире, так как оперировать с категорией модели гораздо экономичнее, чем с действительностью (реальным объектом). Математическая модель – это описание протекания процессов, состояний на языке алгоритмических действий математическими формулами и логическими переходами. Основное отличие этого типа моделей от натурных и вербальных заключается в вариативности, то есть в одном знаковом описании большого числа конкретных вариантов построения и поведения объекта.
Все типы моделей перед их применением к конкретному объекту (явлению), необходимо наполнить информацией, соответствующей используемым символам, макетам и общим понятиям. Для математической модели – это численные (вместо буквенных) значения физических величин, коэффициентов, параметров конкретных видов функций и операторов, определяющих последовательность действий, графовые структуры и т.д. Будучи пропущенной через модель, вся эта информация дает новые знания и представления об исследуемом объекте (явлении), в рассматриваемом случае об отказах исследуемых объектов.

5.1. Модель отказов при мгновенных повреждениях.

Эти отказы наступают в случаях, когда нагрузка , имеющая случайный характер, превысит сопротивляемость, прочность или несущую способность объекта. При этом предполагается, что вариации нагрузки образуют однородную по времени случайную последовательность, другими словами имеет место стационарный режим нагружения, где
^ - символ случайной величины.
Если действующее значение нагрузки превзойдёт прочность (несущую способность), то немедленно произойдёт отказ, критерием которого является предикат вида
( > ). (5.1)
Если же действующее значение нагрузки в ходе единичного цикла нагружения не превысит прочность (несущую способность), то отказ не возникнет, то есть
≤ . (5.2)
Предикаты (5.1),(5.2) соответственно являются критериям и отказа и безотказной работы объекта.
При формировании критериев (5.1), (5.2) исходят из следующих двух положений:
1.Уровень предельно допустимой нагрузки (несущей способности) в вероятностном смысле остаётся постоянным в течение всего времени эксплуатации объекта.
5.Отказ возникает не как следствие постепенного изменения внутреннего состояния объекта, а лишь как следствие внешнего случайного воздействия.

Поскольку в этих условиях отказ возникает лишь по причине внешнего воздействия на объект, то замена старого объекта на новый не может повлиять на причину отказа. Не может повлиять на неё и ремонт, поэтому единственный путь повышения надежности состоит либо в конструктивном улучшении объекта, либо в снижении действующих на него нагрузок.
Таким образом, на основе критерия (5.2) вероятность безотказной работы объекта при единичном цикле нагружения составит
, (5.3)
а вероятность отказа в соответствии с критерием (5.1) составит
(5.4)
Процесс эксплуатации объекта в общем случае представляет собой случайную последовательность циклов его нагружений. Тогда, вероятность того, что объект откажет в k- ом цикле нагружения с учётом формул (5.3), (5.4) запишется следующим образом
(5.5)
где - вероятность того, что объект не откажет в предшествующих циклах нагружения.
Здесь под циклом нагружения понимается такое нагружение, при котором объект, выполняя предписанные ему функции, подвергается воздействию всего спектра действующих на него перегрузок.
Отсюда следует, что вероятность того, что за первые к циклов нагружения отказ произойдет, то есть вероятность события запишется в виде [6,7]

k=1, 2,, (5.6) откуда (5.7)
С учётом (5.5) формула (5.7) примет вид [6.8]
. (5.8)
Сумма в правой части выражения (5.8) представляет собой сумму K членов геометрической прогрессии [1],

,

на основе которой при и с учётом (5.4) формула (5.8) преобразуется к виду

(5.9)

Полученное выражение (5.9) представляет собой вероятность отказа объекта за k циклов нагружения.
Тогда с учётом (5.9) вероятность безотказной работы объекта за k циклов нагружения примет вид

. (5.10)

На основе выражения (5.10) может быть получено выражение для математического ожидания длительности безотказной работы объекта, выраженное в количестве k циклов нагружения и выражаемое суммой членов следующего ряда [1,4]:
(5.11)

Ряд, стоящий в скобках правой части полученного выражения (5.11), представляет собой результат дифференцирования сходящейся геометрической прогрессии вида [1-4]:

,

дифференцирование обеих частей которой приводит к следующему результату
(5.12)
откуда с учётом (5.11) и (5.12)
. (5.13)
Дисперсия случайной величины выражается через второй центральный момент и математическое ожидание (5.13) случайной величины по формуле [6,9]
. (5.14)

Выражение для второго центрального момента случайной величины с учётом (5.11) выражается следующим образом [8]:
(5.15)
Для вычисления суммы сходящегося ряда необходимо стоящее в скобках в правой части (5.15) умножить на p, тогда по аналогии с (5.12)

(5.16)

Формула (5.14) для дисперсии случайной величины после умножения (5.16) на и с учетом (5.13) примет следующий вид:
. (5.17)
Поскольку значение q достаточно мало, то формула (5.17) может быть представлена следующим образом:
. (5.18)
С другой стороны, после разложения в биномиальный ряд формула (5. 9), учитывая, что значение может быть достаточно велико, а значение q может быть представлено следующим образом [1-5]:
. (5.19).
Поскольку из формулы (5.13) следует, что , то выражения (5.19), (5.10), (5.18) соответственно примут вид

, (5.20)

, (5.21)

(5.22)

Во всех полученных выше формулах случайная величина есть не что иное, как дискретное время. Однако в реальных условиях при решении большинства задач время выступает как величина непрерывная, когда интервал . В этом случае формулы (5.20), (5.21), (5.22) могут быть записаны следующим образом

, (5.23)

, (5.24)
, (5.25)
где , то есть математическое ожидание времени безотказной работы объекта выражаемое не дискретной случайной величиной , а соответствующей ей непрерывной случайной величиной .

На рис. 5.1 приведены для сравнения графики функций и вычисленные по формулам (5.10), (5.54) с одинаковыми параметрами . Откуда следует хорошая сходимость дискретной и непрерывной моделей (5.20)-(5.22) и (5.23)-(5.25).

Рис.5.1 Графики вероятности безотказной работы для геометрического 1 и экспоненциального распределений при .


5.5. Модель отказов, обусловленных накапливающимися повреждениями.

Среди причин возникновения отказов важное место занимает старение объекта, когда отказ объекта образуется за счёт постепенного накопления повреждений (постепенного старения или изнашивания). Следует отметить, что сколь угодно высокое качество объектов не может предохранить их от постепенного старения (износа). Так, в процессе эксплуатации и хранения в металлах, пластмассах и других материалах накапливаются необратимые изменения, которые нарушают прочность (несущую способность или сопротивляемость) объектов и постепенно, в конечном счете, приводят к отказу. Для ряда рабочих параметров объекта заранее могут устанавливаться допустимые пределы, выход за пределы которых квалифицируется как отказ, а время этого выхода является временем безотказной работы.
Модель, когда первое повреждение способно привести к отказу (повреждению) объекта рассмотрена в п.5.1. Модель отказов, обусловленная накапливающимися повреждениями, состоит в том, что для отказа объекта необходимо накопление нескольких повреждений. Таким образом, данная модель является обобщением модели при единичном мгновенном повреждении.
Пусть в случайные моменты времени возникают единичные случайные повреждения. При накоплении m повреждений возникает отказ. При каждом единичном повреждении износ скачкообразно увеличивается на некоторую постоянную величину . На рис. 5.2. приведена схема накопления повреждений при износе, где пунктирная прямая соответствует средней величине износа на интервале [0,t]. Случайные колебания величины износа около этой пунктирной прямой обусловлены случайностью моментов возникновения случайных скачкообразных приращений износа .
Пусть в случайные моменты времени возникают единичные повреждения , значения которых подчинены закону распределения с математическим ожиданием , а интервал между моментами возникновения повреждений подчинён закону распределения с математическим ожиданием .
На этом этапе стабильный в вероятностном смысле процесс износа приводит к тому, что интервалы , между включениями объекта в рабочее состояние, а также продолжительности или объёмы работы (величины износа) объекта при каждом таком включении являются случайными величинами с постоянными математическими ожиданиями и дисперсиями соответственно

. (5.26).

В этом случае износ объекта, то есть сумма накопление в нём повреждений, образует случайный процесс вида

, (5.27)

где - случайное число включений объекта в рабочее состояние за время t.
На рис. 5.2 с учётом (5.26), (5.27) представлена схема накопления повреждений (износа), где R - сумма повреждений, необходимых для возникновения отказа. Пунктиром показана прямая, описывающая собой среднюю сумму повреждений , накопившихся за время t.

Рис. 5.2. Реализация процесса накопления повреждений

Случайные отклонения величины износа от этой прямой обусловлены случайным характером интервалов между включениями объекта, а также случайным характером величин износа (повреждений) объекта при каждом единичном включении.
Предполагается, что вероятность возникновения скачка износа за время не зависит от того, сколько скачков (повреждений) было на интервале времени, к которому примыкает этот интервал.
Физический смысл этого предположения заключается в следующем. Процесс износа всегда имеет, по крайней мере, три этапа (рис. 5.3.). На первом этапе в процессе приработки в объекте протекают направленные изменения, объект как бы приспосабливается к условиям нагружения. Характерной особенностью этого этапа является взаимная зависимость приращений износа. Скорость износа на этом этапе постепенно уменьшается. Этап II называется зоной установившегося или нормального износа. На этом этапе объект приобретает относительно стабильные свойства, отвечающие условиям нагружения. Этап нормального износа занимает наибольшую часть времени функционирования (объекта). На II-ом этапе изменения, происходящие в объекте, носят плавно возрастающий характер, поскольку величина приращения износа (числа повреждений) не оказывает существенного влияния на величину последующего повреждения [5,4,7].
Этап III называется зоной катастрофического износа, поскольку на скорость износа начинают воздействовать новые факторы, влияние которых ранее не ощущалось, что изменяет физическую картину происходящих явлений и приводит к качественному скачку процесса накопления повреждений. При катастрофическом износе изменения состояния объекта, как и при приработке, взаимно зависимы и носят направленный характер.

Рис. 5.3. Типичная кривая износа.


Из рис 5.3 с учётом (5.26) и рис.5.2 следует, что среднее число накопленных повреждений за время составит:

, (5.28)

а соответствующая этому числу средняя величина износа за время t составит:

. (5.29)

На основе (5.28), (5.29) и обозначений (5.27) математическое ожидание величины износа, а также его скорость соответственно составят

; . (5.30)

В формулах (5.30) отношение есть средняя скорость износа. Так как это отношение от времени не зависит, то средняя скорость износа на этапе II является величиной
Даная модель процесса износа (5.30) отвечает ситуации, когда приработка закончена, а катастрофический износ ещё не наступил. Скорость износа в этом случае (см. рис.5.3.) постоянна.
Из формул (5.23), (5,24), (5,25) вытекает, что с учётом ранее ввёденных обозначений (5.27) интервал между одиночными повреждениями подчинены одному и тому же экспоненциальному закону распределения с параметром . Действительно, поскольку из рис. 5.3. и формул (5.28)-(5.30) на нормальном этапе эксплуатации имеет место:

(5.31)

где - величина обратная среднему времени между включениями объекта.
Отсюда следует важное положение заключается в том, что случайная длительность процесса накопления повреждений определяется суммой интервалов времени, подчинённых экспоненциальному закону распределения с параметром, определяемым формулой (5.25), то есть:

. (5.32)

В этом случае данной схеме накапливающихся повреждений отвечает гамма-распределение случайной величины с плотностью [4-6]

(5.33)

где r - число повреждений, необходимых для возникновения отказа, Г(r) – гамма-функция, которая в общем случае определяется формулой

(5.34)

Однако число повреждений r является целочисленной величиной, для которой справедливо соотношение [1,4]

Г(r) = (r-1)! . (5.35)

В общем случае функция распределения случайной величины то есть времени достижения износом с учётом плотности (5.34) подчинена закону Эрланга, определяется формулой [4-6]

, (5.36)

где t - заданное время функционирования объекта.
Для целых r после интегрирования по частям формула (5.36) принимает вид:

. (5.37)

Формула (5.37) дает распределение времени , при котором достигается число повреждений, равное r.
При r=0 плотность (5.33) совпадает с плотностью экспоненциального распределения, описывающего модель возникновения внезапных отказов (5.23)-(5.25).
Кривые плотности случайной величины t, подчинённой закону Эрланга для различных значений r=1,5,…,15 при , приведены на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Плотность гамма-распределения при разных r и .

При малых r кривые плотности гамма-распределения (5.37) ассиметричны, с ростом r они становятся все более симметричными (см. рис.5.4).
Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения имеют вид [4-6]:
(5.38)
Формально считается, что переход к нормальному распределению приемлем, если имеет место соотношение [1-10]:
, (5.39)
что достигается при r>10…15.
В основе этого предположения лежит то обстоятельство, что с ростом числа r кривая плотности гамма-распределения, задаваемого выражением (5.36), стремится к виду (см. рис.5.4):
, (5.40)
поскольку в соответствие с теоремой Ляпунова распределение суммы большого числа независимых, одинаково распределенных случайных величин, близко к нормальному [4-7,6].
В общем случае формула (5.40) с учетом (5.58) может быть представлена в виде:

. (5.41)

Тогда функция распределения случайной величины , подчиненной нормальному закону распределения с плотностью (5.41) запишется в нормированной формуле следующим образом [4,6,7]:

, (5.42)

где - функция Лапласа, представляемая в табулированном виде [6,7].
С учётом табулированной функции Лапласа функция распределения случайной величины выражается в виде [4,6]:

, (5.43)

где [5-10].
Выражение (5.42) с хорошей для практики точностью аппроксимируется логистической зависимостью вида:
, (5.44)

что значительно облегчает вычисления и позволяет моделировать значения случайных величин методом обратной функции [8].

5.3 Модель “Нагрузка – сопротивляемость объекта”.

Рассмотренные в п.п. 5.1,5 модели основываются на том, что используемые для их построения значения показатели безотказности невосстанавливаемых объектов известны.
Однако получение, значений этих показателей ввиду высокой стоимости и малосерийности сложных современных объектов, в частности объектов РКТ известными статистическими методами весьма затруднительно.
Эти трудности можно обойти, если использовать дополнительную информацию о законах распределения сопротивляемости (прочности, несущей способности) объекта и нагрузки, воздействующей на объект. При этом считается, что отказ наступит, когда нагрузка, воздействующая на объект, превысит предельное значение соответствующего свойства объекта, то есть его сопротивляемость этой нагрузке [5-15].
В общем случае нагрузка и соответствующая ей сопротивляемость объекта вследствие многообразия и случайной природы факторов, нагружающих объект, а также обуславливающих его прочность при проектировании и изготовлении, являются случайными величинами.
Тогда с учётом (5.1), (5.2) критериями безотказной работы объекта при единичном цикле нагружения могут служить дважды неопрёделенные предикаты вида:

(5.45)

(5.46)

а критериями отказа – предикаты:

, (5.47)

(5.48)

где ^ - символ случайной величины.
Закон распределения случайной величины известен или может быть получен по результатам заводских испытаний, а закон распределения случайной величины может быть получен по результатам телеметрического контроля или специальных измерений в процессе испытаний и эксплуатации как самого объекта, так и объектов-аналогов.
Допустимые значения случайных величин и обычно оговариваются в нормативно-технической (НТД), конструкторской и эксплуатационной документации (КД и ЭД).
Таким образом, при известных плотностях распределения , случайных величин и вероятности выполнения предикатов (5.45), (5.46), то есть показатели безотказности объекта при единичном нагружении, могут быть определены следующим образом [5,4,7]:

; (5.49)

. (5.50)

В общем случае объект и его элементы подвергаются ряду последовательных нагружений. При этом если нагрузка, действующая на объект, в вероятностном смысле остаётся постоянной, то вероятность безотказного функционирования объекта при n циклах нагружения на основе формулы (5.49) может быть представлена следующим образом:

; (5.51)

где - вероятность того, что за n последовательных циклов нагружения нагрузка ни разу не превзойдёт сопротивляемость объекта или вероятность того, что n независимых циклов нагружения дадут значения , не превышающие величину сопротивляемости объекта при каждом цикле нагружения (см. 5.49).
В качестве нагрузки и сопротивляемости принимаются одни и те же физические параметры, например, если z – рабочее давление, то θ - давление разрушения, если z – сжимающее усилие, то θ - критическая сила потери устойчивости, если z – рабочая температура, то θ - предельная термостойкость, если z электрическое напряжение, то θ – предельно допустимое значение напряжения и т.д.
Вместе с тем выбор той или иной пары параметров в качестве z и θ достаточно произволен и определяется особенностями конструкции и объекта его значением.
Полученные на основе выражений (5.49), (5.50) вероятности отказа объекта при единичном цикле нагружения представлены в таблице 5.1 с учётом следующих обозначений:
- математические ожидания и среднеквадратические отклонения CB и ;
- коэффициент безопасности, представляющий собой отношение МО CB и ;
; - коэффициенты вариации CB и .
Расчёты показывают, что для малых значений вероятностей (5.50), соответствующих уровню современных требований к надёжности или безопасности, значения , практически не зависят от вида законов распределения CB и . При этом значения , рекомендуется задавать в пределах [18]:

(0.1…0.30). (5.52)

Значения на основе соответствующих требований нормативно-технической и конструкторской документации рекомендуется задавать в пределах [16]
(1.2….2.0). (5.53)
Показатель типа , полученный из (5.49), (5.50) для широкого класса двухпараметрических распределений является сложной функцией вида

, (5.54)

где - функция трёх аргументов , являющаяся в свою очередь аргументом функции Р.
Формулы таблицы 5.1 позволяют численно рассчитать значения показателей (5.49), (5.50) надежности.

Таблица 5.1
№ Вид законов распределения Плотность вероятности Плотность вероятности Вероятность
п/п



q=1-v

1
Нормальный
Нормальный


2
Экспоненциальный
Экспоненциальный

 


3
Нормальный
Экспоненциальный


4
Экспоненциальный
Нормальный

 

5

Релея

Релея

 


5.4 Модели параметрических отказов.

Как известно, внезапный отказ – отказ, характеризующийся скачкообразным изменением значений одного или нескольких заданных параметров объекта. Постепенный отказ – отказ, характеризующийся постепенным изменением значений одного или нескольких заданных параметров объекта [1,3].
Параметрический отказ – отказ, характеризующийся отклонением значения хотя бы одного рабочего параметра объекта за пределы допуска. У ряда объектов (машин, двигателей, электронных схем, различных технологических объектов) в результате параметрического отказа сохраняется функционирование, но происходит выход значений одного или нескольких показателей качества объекта (производства) за пределы, установленные в нормативно-технической документации (НТД) и конструкторской документации (КД) [1,4].
Надежность в отношении параметрических отказов определяют как параметрическую надежность.
5.4.1.Модель параметрического отказа при одном параметре, характеризующем работоспособность объекта.

Рассмотренные процессы накопления повреждений (п. п. 5.1 – 5.2) в общем случае на участке нормального износа аппроксимируются линейными случайными функциями вида:
, (5.55)
где - начальное значение износа (после этапа I приработки) и - скорость накопления износа или повреждений ( и - независимые случайные величины).
Математическое ожидание линейной случайной функции (5.54) с учетом рис.5.2 и 5.3 имеет вид:
. (5.56)
Случайные вариации отражают различие исходных свойств объекта, обуславливающих различные скорости износа или разрегулировки (достижения границы R поля допуска).
Уравнения (5.55) и (5.56) описывают процесс линейного износа на II этапе установившегося или нормального износа (то есть на интервале [t1, t2], как это показано на рис.5.3). При этом предполагается, что объект прошел этап приработки I.
Распределения случайных величин и определяются типом объекта, условиями его производства и функционирования и зависит от множества случайных факторов, каждый из которых вносит свой вклад в скорость износа или разрегулирования. Если влияние каждого из этих факторов имеет примерно одинаковый порядок, то можно считать, что применительно к рассматриваемой задаче случайные величины и подчинены усеченному нормальному закону распределения [4-7].
Из сказанного выше и линейности формул (5.55) и (5.56) следует, что случайная величина износа или разрегулирования (5.55) также имеет нормальное распределение с числовыми характеристиками [1-5]:
, (5.57)
(5.58)
поскольку суммирование случайных величин, подчиненных нормальным законам распределения дает случайную величину , также подчиненную нормальному закону распределения.
При известном значении R предельно допустимого уровня линейного износа или разрегулирования вероятность того, что к моменту времени t отказ не наступит с учетом формул (5.57) и (5.58) может быть определена следующим образом:
, (5.59)
а вероятность того, что к моменту времени t наступит параметрический отказ, примет вид [1-10]:
(5.60)
Полученное выражение (5.60) представляет собой функцию трехпараметрического дисперсионного распределения Бернштейна с параметрами [4,10]:
. (5.61)
С учетом (5.61) распределение (5.60) принимает окончательный вид:
, (5.62)
где Ф0 - функция (интеграл) Лапласа [1-4].
Частным случаем процесса (5.58) является простой процесс вида:
, (5.63)
где ; - начальное значение износа, представляющее собой нормально распределенную случайную величину.
Реализация этого процесса (5.63) также описывается распределением Бернштейна и представлена на рис.5.5.

Рис.5.5. Реализация функции случайной величины вида при одной неслучайной (верхней) границе R поля допуска.

В этом случае параметры распределения Бернштейна составят:
,
поскольку
Процессы вида (5.61) хорошо описывают процессы разрегулирования значений определяющих параметров объекта, когда перед началом функционирования объекта регулируемый определяющий параметр имеет случайное распределение. Однако при дальнейшей эксплуатации объекта этот параметр изменяется детерминировано по линейному закону. Причем все реализации процесса (5.61) представляют собой линии параллельные средней реализации процесса износа, которая на рис.5.5 выделена более яркой линией. Положение каждой реализации зависит от одной случайной величины – начального значения износа .
Еще одним частным случаем процесса (5.55) является процесс, описываемый веерной функцией вида:
, (5.62)
В этом случае параметры (5.61) распределения Бернштейна (5.57) составят:
. (5.63)
Процессы вида (5.62) хорошо описывают процессы разрегулирования значений определяющих параметров объекта, когда перед началом функционирования объекта его регулируемый определяющий параметр устанавливается равным некоторому номинальному значению . При дальнейшей эксплуатации объекта этот параметр случайно изменяется. Причем все реализации процесса (5.62) проходят через одну неслучайную точку a (рис.5.6), называемую полюсом. Положение каждой реализации зависит от одной случайной величины - скорости изменения параметра .


Рис.5.6. Линейные реализации процесса износа (разрегулирования) вида .

Положение каждой реализации зависит от одной случайной величины – скорости изменения параметра , тогда время достижения процессом (5.62) границы R поля допуска будет равно:
. (5.64)
Время (5.64) характеризует момент наступления отказа вследствие накопления допустимого числа повреждений (износа) или разрегулирования.
В формуле (5.64) случайная величина является функцией случайного аргумента , характеризующего скорость изменения параметра, имеющего, как правило, усеченное нормальное распределение [10-15]:

, (5.65)
где С1 - нормирующий множитель [11-15],

;
- математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины ;
, - значения нижней и верхней границ скорости изменения параметра .
Как следует из (5.63), случайная величина является функцией случайного аргумента , то есть
(5.66)
С учетом плотности (5.65) и формулы (5.63) плотность распределения случайной величины будет иметь вид [1-7]:

откуда
(5.67)
при
где - среднеквадратическое отклонение случайной величины .
С учетом новых обозначений

распределение (5.80) примет вид:

(5.68)
где - характеризует относительный запас работоспособности объекта и имеет размерность наработки (времени), - характеризует относительную среднюю скорость изменения контролируемого параметра , т.е. выработки имеющегося запаса работоспособности.
Распределение (5.68) называется альфа-распределением [5]. Оно описывает модели отказов из-за разрегулирования, а также из-за выхода параметра объекта за пределы поля допуска. В общем случае альфа-распределение характеризует процесс приближения объекта к рассматриваемому предельному состоянию, например, определяемому границей поля допуска R.
Тогда с учетом плотности (5.68) вероятность сохранения объекта в пределах допуска к моменту времени составит:
(5.69)
Таблицы функций альфа-распределения представлены в литературе [10-15].
С помощью формул (5.68) и (5.69) также может быть оценено время выполнения различных работ. В этом случае параметр представляет собой производительность труда (скорость выполнения работ) [10].

5.4.5.Модель параметрической надежности объекта при нескольких параметрах, характеризующих работоспособность его систем и элементов.

В целом параметрическая надежность сложных объектов, например, параметрическая надежность двигательной установки летательного аппарата (ЛА), будет определяться векторами положения и скорости в момент выключения двигателя, определяющих расчетную дальность L ЛА (его основной выходной параметр), которая является функцией ряда его бортовых параметров x1(t), x5(t), …, xn(t), определяющих надежность ЛА, то есть
L (x1(t), x2(t),…, xn(t)). (5.70)
Здесь L является основным выходным параметром, составляющими которого являются выходные параметры x1(t), x5(t), …, xn(t) ряда бортовых систем и элементов объекта.
При этом
L = L0 + ∆L ,
где L0 – расчетное значение основного выходного параметра, определяемое номинальными значениями выходных параметров x1(t), x5(t), …, xn(t) систем и элементов объекта;
∆L – приращение выходного параметра объекта, обусловленное вариациями параметров x1(t), x5(t), …, xn(t);
n – число выходных параметров систем и элементов, вносящих вклад в изменение ∆L выходного рабочего параметра объекта.
Изменение ∆li выходного параметра объекта L0 за счет вариации параметра xi(t) входящей в его состав i-ой системы элемента составит:
∆li = L0 – Li .
Тогда изменение рабочего выходного параметра объекта за счет вариации всех параметров x1(t), x5(t), …, xn(t) совместно может быть определено алгебраической суммой:
∆L = ∆li , (5.71)
где sign – сигнатура числа ∆li , т.е.

 

В силу предполагаемых монотонности и непрерывности функции (5.70) дополнительное от вариации ∆xi i-ого параметра xi(t) изменение выходного рабочего параметра ∆li объекта можно представить разложением в ряд Тейлора по степеням ∆xi [10]:
∆li = ∆xi + ∆x5i + … (5.72)
Тогда с учетом (5.72) суммарное изменение ∆L выходного параметра L, обусловленное вариациями всех параметров систем и элементов объекта может быть определено следующим образом:
∆L = ( ∆xi + ∆x5i + …) (5.73)
На основе выражений (5.72), (5.73) относительное изменение αi выходного рабочего параметра объекта под влиянием выходного параметра xi(t) i-ого элемента объекта примет вид:

αi = = . (5.74)

При этом производные высшего порядка не учитываются, поскольку они слабо влияют на величину αi, которая не зависит от времени t, если случайные функции x1(t), x5(t), …, xn(t) являются линейными.
Легко видеть, что параметры α1, α5, …, αn представляют собой коэффициенты чувствительности изменения выходного рабочего параметра объекта к вариациям выходных параметров бортовых систем и элементов объекта.
На практике ограничения накладываются не только на отклонение ∆L выходного параметра объекта, но и на параметры x1(t), x5(t), …, xn(t), при которых обеспечивается его работоспособность, то есть
xi(t)  {xi}, i = 1, 2, …, n , (5.75)

где {xi} – область допустимых значений i-ого параметра.
В этом случае отклонение i-ого параметра за пределы установленной области (5.74) или обусловленное вариацией этого параметра отклонение выходного рабочего параметра объекта за пределы допуска, т.е. ΔLiΔL0 при x1(t){xi} классифицируется как нарушение работоспособности (отказ) объекта.
Тогда вероятность выхода рабочего параметра L за пределы допуска под воздействием вариации i-ого параметра с учетом формулы (5.74), т.е. “веса” i-ого параметра xi(t), записывается следующим образом:
qi (t) = αi*qi[xi(t)], (5.76)

где qi [xi(t)] – вероятность выхода i-ого параметра за пределы допуска за время работы t.
Тогда эти вероятности с учетом вида допуска могут быть представлены в виде:
- при одностороннем нижнем допуске xiH ≤ xi ≤ ∞, - при одностороннем верхнем допуске 0 < xi ≤ xiВ, -при двухстороннем допуске xiH ≤ xi ≤ xiВ,

где xiH, xiВ – нижняя и верхняя границы поля допуска случайной величины (t).

С учетом выражений (5.76) и (5.77) вероятность безотказной работы объекта под влиянием i-ого параметра составит:
pi(t) = 1 - αi*qi(t), (5.78)
где αi*- статистическое значение коэффициента αi

Тогда параметрическая надежность объекта в целом с учетом (5.78) будет равна:
P(t) = [1 - αi*qi(t)] . (5.79)
Таким образом, параметрическая надежность объекта сводится к вычислению оценок αi* коэффициентов αi и вероятностей qi (t).
При этом для вычисления коэффициентов чувствительности αi нет необходимости знать оператор L, получение которого сопряжено с большими трудностями. Достаточно располагать лишь статистическими данными о параметрических отказах элементов (5.76) объекта при его отработке. В этом случае оценки коэффициентов αi определяются следующим образом:
αi*= , (5.80)
где mi – количество отказов объекта вследствие ухода его i-ого параметра за пределы допуска (5.77);
N – общее количество отказов объекта, зафиксированное по причинам выхода за пределы допусков его систем и элементов.
Значения допусков (5.75) и (5.77) на параметры xi(t) систем и элементов объекта и коэффициентов чувствительности (5.74) могут быть получены и определены на этапе заводских и приемо-сдаточных испытаний.
Таким образом, управляя значениями допусков xiH, xiВ на выходные параметры (5.75), (5.77) элементов объекта можно обеспечить требуемое значение показателя параметрической надежности (5.79) объекта в целом.
5.5 Модель отказов сложных объектов при суммировании потоков повреждений.

В сложных объектах отказы каждой из его составных частей образуют во времени последовательности событий, происходящих друг за другом в случайные моменты времени.
Графически этот поток событий можно представить как последовательность точек на числовой оси 0t, соответствующих моментам появления этих событий (рис.5.5).

0 t

Рис. 5.5. Графическое представление потока событий.

Самым простым потоком с точки зрения его построения является регулярный поток, в котором события следуют одно за другим через строго определённые промежутки времени.
Однако вследствие воздействия многих случайных факторов как моменты возникновения событий, так и интервалы между событиями являются случайными величинами. Пусть эти интервалы , … независимы между собой. В этом случае поток событий называется потоком с ограниченным последствием или потоком Пальма.
Различают потоки однородных и неоднородных событий. События в однородном потоке имеют одну и ту же природу и различаются только моментами появления. Неоднородные потоки событий образуются суммой потоков неодинаковой природы, (например, потоки отказов резисторов и конденсаторов). Если в потоке Пальма интервала , … между событиями потока имеют один и тот же закон распределения, то такой поток событий называется рекуррентным потоком [7,9].
Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на интервал [t,t+ двух и более событий пренебрежимо мало (стремится к нулю) при стремлении интервала к нулю.
Как показывает опыт эксплуатации различных объектов, одновременное возникновение двух и более отказов маловероятно.
Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания m событий на интервале времени [t,t+ не зависит от числа и моментов появления событий на других интервалах, не пересекающихся с данным.
Последействие потока означает, что будущее поведение потока зависит от его состояния в прошлом.
Если поток событий является ординарным и без последействия, то число событий, попадающих на интервал [t, t+ , распределено по закону редких явлений или закону Пуассона. Такой поток называется пуассоновским. Для пуассоновского потока вероятность того, что случайное число событий, попавших на интервал (t,t+ , выражается формулой Пуассона [4,7,6,9]:

, (5.81)

где а – параметр потока Пуассона (математическое ожидание числа событий, попадающих на интервал и примыкающих к моменту времени t).
Параметр закона Пуассона определяется следующим образом:

(5.82)

где λ(t) – интенсивность потока отказов.
Интенсивностью или плотностью потока отказов называется математическое ожидание числа событий, поступающих в единицу времени. В общем случае интенсивность потока отказов является функцией времени.
Если вероятность попадания m событий на интервале времени зависит только от числа событий и длины интервала и не зависит от начала t интервала, то такой поток называется стационарным, при этом .
Для этого потока математическое ожидание числа событий, как это следует из формулы (5.82) также не будет зависеть от t:
. (5.83)

Пуассоновский поток, удовлетворяющий условиям стационарности называется простейшим. Таким образом, простейший поток отказов обладает одновременно тремя свойствами: ординарностью, отсутствием последействия и стационарностью.
Для простейшего потока вероятность того, что на произвольно выбранном отрезке времени продолжительностью наступит ровно m событий на основе (5.81) составит

. (5.84)

Тогда вероятность того, что на участке времени t, следующим за одним из событий, не появится ни одного события, как это следует из (5.81) при m=0, будет равно:

. (5.85)

Но вероятность (5.85) есть вероятность того, что случайная величина будет больше заданного значения t. Следовательно

, (5.86)

откуда

, (5.87)

. (5.88)

Таким образом, в простейшем потоке интервал времени между двумя соседними событиями распредёлен по показательному закону с параметром . Вследствие отсутствия последействия все интервалы между соседними событиями представляют собой независимые случайные величины. Поэтому простейший поток представляет собой стационарный поток Пальма.
Многие потоки событий, возникающих на практике, можно считать пуассоновским. Так, например, поток автомашин на загородном шоссе будет практически пуассоновским, так как он состоит из отдельных автомашин, выезжающих на шоссе с различных улиц и дорог. Поток самолётов, прибывающих в аэропорт, так же близок к пуассоновскому несмотря на то, что его стремятся сделать строго регулярным (заранее, планируют время прибытия каждого самолёта). Это объясняется тем, что самолёты прибывают к аэропорту не в строго заданное время, а раньше или позже. Причём каждый самолёт независимо от других вносит свой элемент в случайности в поток приземлений.
Современные электронные объекты состоят из большого числа элементов. Каждый из этих элементов отказывает достаточно редко. Поэтому поток отказов такого объекта с учётом вышеизложенного может быть представлен в виде суммы большого числа независимых редких потоков. Вклад каждого из элементов в суммарном потоке мал и примерно одинаков. Поэтому даже если поток отказов какого-либо элемента обладает последействием, то суммарный поток не будет иметь последействия, так как зависимые отказы будут разделены достаточно большим числом отказов других элементов.
Таким образом, на основе предельной теоремы для суммарного потока сумма независимых, ординарных, стационарных потоков сходится к простейшему. Причём сходимость суммарного потока к простейшему осуществляется достаточно быстро. Практически считается, что сложение четырёх-пяти стационарных, ординарных, независимых потоков, сравнимых по интенсивности, достаточно для того, чтобы суммарный поток был близок к простейшему [6,7,9]
Сложение потоков заключается в том, что все моменты появления событий в этих потоках относят к одной временной оси 0t, на которой отмечаются моменты появления события в суммарном потоке. Поэтому при сложении n потоков интенсивности суммарного потока определяется следующим образом:

, (5.89)

где - интенсивность j-го потока событий.
Таким образом, для выяснения свойств суммарного потока событий достаточно знать лишь интенсивности суммы потоков и практически не требуется знать внутреннюю структуру этих потоков.
Если суммируемые потоки нестационарные, то предельное свойство также имеет место, а суммарный поток получается близким к нестационарному пуассоновскому с интенсивностью:

, (5.90)

где - переменная интенсивность j-го потока. Представленные в формуле (5.91) интенсивности всех потоков для любого момента времени t должны быть соизмеримыми.
Таким образом, пуассоновские и простейшие потоки отказов, как это следует из формул (5.89), (5.90), обладают свойствами устойчивости, при их объединении, так как в результате этой операции математическая модель результирующего потока не меняется (меняется лишь его плотность).
По мере увеличения сложности основных и составляющих элементов объекта (см. рис. 1.1), то есть с увеличением числа входящих в их состав составляющих, комплектующих элементов, распределение времени безотказной работы объекта при весьма общих условиях сходится к экспоненциальному.
Критерием экспоненциальности распределения времени безотказной работы объекта, поток отказов которого является стационарным, может служить выражение [10]:

, (5.89)

где среднее время безотказной работы i-го элемента, n – число элементов объекта.
Хотя критерий (5.89) является лишь достаточным, но зато он удобен для практических приложений, поскольку необходимо знать только математические ожидания времён безотказной работы элементов. Приближение к экспоненциальному закону тем лучше, чем больше n. Так как левая часть выражения (5.89) не меньше, чем 1/n, то распределение времени безотказной работы объекта со стационарным потоком отказов будет практически экспоненциальным при [9,10].
В строительной механике широко используется отношение , называемое коэффициентом запаса прочности или безопасности [5]. Указанное соотношение, а также различные числовые характеристики CB и могут быть использованы для определения показателей (5.30), (5.31). Для наиболее распространённых законов распределения CB и расчётные соотношения для определения вероятности

. (5.55)

Полученные на основе выражений (5.5), (5.3) представлены в таблице 5.1 с учётом следующих обозначений:
- математические ожидания и среднеквадратические отклонения CB и ;
- коэффициент безопасности, представляющий собой отношение МО CB и ;
; - коэффициенты вариации CB и .
Расчёты показывают, что для малых значений вероятностей (5.3), соответствующих уровню современных требований к надёжности или безопасности, значения , практически не зависят от вида законов распределения CB и . При этом значения , рекомендуется задавать в пределах:

(0.1…0.55) (5.53)

Значения на основе соответствующих требований нормативно-технической и конструкторской документации рекомендуется задавать в пределах
(1.5….3.0) (5.54)
Показатель типа , полученный из (5.50) для широкого класса двухпараметрических распределений, с учётом формул (5.50), (5.51), является сложной функцией вида

, (5.55)

где - функция трёх аргументов , являющаяся в свою очередь аргументом функции Р. Формулы таблицы 5.1 позволяют численно рассчитать значения показателей (5.5), (5.55) надежности.

 

 

 

Похожие статьи:
Поделиться с друзьями:
Комментарии:

Дисциплины